Формальная арифметика - definitie. Wat is Формальная арифметика
Diclib.com
Woordenboek ChatGPT
Voer een woord of zin in in een taal naar keuze 👆
Taal:

Vertaling en analyse van woorden door kunstmatige intelligentie ChatGPT

Op deze pagina kunt u een gedetailleerde analyse krijgen van een woord of zin, geproduceerd met behulp van de beste kunstmatige intelligentietechnologie tot nu toe:

  • hoe het woord wordt gebruikt
  • gebruiksfrequentie
  • het wordt vaker gebruikt in mondelinge of schriftelijke toespraken
  • opties voor woordvertaling
  • Gebruiksvoorbeelden (meerdere zinnen met vertaling)
  • etymologie

Wat (wie) is Формальная арифметика - definitie

Аксиома полной индукции; Аксиома индукции; Арифметика Пеано; Формальная арифметика; Теория S; Принцип индукции; Аксиоматика Пеано

Формальная арифметика         

формулировка арифметики в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Язык Ф. а. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, •, ' (прибавление 1) и логические связки (см. Логические операции). Постулатами Ф. а. являются аксиомы (См. Аксиома) и правила вывода (См. Правило вывода) исчисления предикатов (классического или интуиционистского в зависимости от того, какая Ф. а. рассматривается), определяющие равенства для арифметических операций:

а + 0 = а, а + b' = (а + b),

а •0 = 0, аb' = (аb) + а,

аксиомы Пеано:

⌉(а' = 0), a'= b'а = b,

(a = b & а = с) → b = с, а = ba' = b'

и схема аксиом индукции:

А (0) & x (А (х) → А (x')) → xa (x).

Средства Ф. а. достаточны для вывода теорем элементарной теории чисел. В настоящее время, по-видимому, неизвестно ни одной содержательной теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения средств анализа, которая не была бы выводима в Ф. а. В Ф. а. изобразимы Рекурсивные функции и доказуемы их определяющие равенства. Это позволяет, в частности, формулировать суждения о конечных множествах. Более того, Ф. а. эквивалентна аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) Цермело - Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой.

Ф. а. удовлетворяет условиям обеих теорем Гёделя о неполноте. В частности, имеются такие полиномы Р, Q от 9 переменных, что формула x1... x9 (PQ) невыводима, хотя и выражает истинное суждение, а именно непротиворечивость Ф. а. Поэтому неразрешимость диофантова уравнения Р - Q = 0 недоказуема в Ф. а. Непротиворечивость Ф. а. доказана с помощью трасфинитной индукции до ординала ε0 (наименьшее решение уравнения ωε = ε). Поэтому схема индукции до ε0 недоказуема в Ф. а., хотя там доказуема схема индукции до любого ординала α < ε0. Класс доказуемо рекурсивных функций Ф. а. (т. е. частично рекурсивных функций, общерекурсивность которых может быть установлена средствами Ф. а.) совпадает с классом ординально рекурсивных функций с ординалами < ε0.

Не все теоретико-числовые предикаты выразимы в Ф. а.: примером является такой предикат T, что для любой замкнутой арифметической формулы А имеет место Т (⌈А⌉) ↔ А, где ⌈А⌉ - номер формулы А в некоторой фиксированной нумерации, удовлетворяющей естественным условиям. Присоединение к Ф. а. символа Т с аксиомами типа

Т (⌈А & B⌉) ↔ Т (⌈А⌉) & Т (⌈B⌉),

выражающими его перестановочность с логическими связками, позволяет доказать непротиворечивость Ф. а. Похожая конструкция (но уже внутри Ф. а.) доказывает, что схему индукции нельзя заменить никаким конечным множеством аксиом. Ф. а. корректна и полна относительно формул вида ∃x1... ∃xk (P = Q); замкнутая формула из этого класса доказуема тогда и только тогда, когда она истинна. Так как этот класс содержит алгоритмически неразрешимый предикат, отсюда следует, что проблема выводимости в Ф. а. алгоритмически неразрешима.

При задании Ф. а. в виде генценовской системы осуществима нормализация выводов, причём нормальный вывод числового равенства состоит только из числовых равенств. На этом пути было получено первое доказательство непротиворечивости Ф. а. Нормальный вывод формулы с кванторами может содержать сколь угодно сложные формулы. Полная подформульность достигается после замены схемы индукции на со-правило, позволяющее вывести В → ∀xA (x) из ВA (0), B A (1),... Понятие ω-вывода (т. е. вывода с ω-правилом) высоты < ε0 выразимо в Ф. а., поэтому переход к ω-выводам позволяет устанавливать в Ф. а. многие метаматематические теоремы, в частности полноту относительно формул вида ∃x1... xk (P = Q) и ординальную характеристику доказуемо рекурсивных функций.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, 2 Aufl., Bd 1-2, В., 1968-70.

Г. Е. Минц.

Аксиомы Пеано         
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Универсальная арифметика         
  • <center>Английское издание (1720)</center>
«Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», ) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики.

Wikipedia

Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Wat is Форм<font color="red">а</font>льная арифм<font color="red">е</font>тика - definition